Die Mathematik dahinter

– Die Berechnungsformeln hinter dem Artikel ‘Jahreszins oder Monatszins’ –

Hinweis: Zur genauen Berechnung steht ein Zinsrechner in JavaScript zur Verfügung, mit dem die Werte genauestens ausgerechnet werden können.


Am einfachsten zu verstehen ist die Rechnung, wenn man sich die Rückzahlung des Dispokredits als 12 einzelne Kredite  -jeweils für einen einzelnen Monatsbeitrag- vorstellt. Der Monatsbeitrag M wird dabei mit dem Zinsfaktor q für monatliche Verzinsung multipliziert um den Rückzahlungsbetrag R incl. Zins und Zinseszins zu erhalten.

Der Zinsfaktor q für monatliche Verzinsung berechnet sich aus dem Jahreszins p (in %). Bei einem Jahreszinssatz von p für Dispokredite ergibt sich der Zinsfaktoren monatliche Verzinsung zu:

Zinsfaktor q

Für alle 12 Monate ist also folgender Gesamtbetrag G fällig:

G12 = R0 + R1 + ... + R11 = M · (q0 + q1 + ... + q11)

Mit ein paar mathematischen Tricks läßt sich ganz allgemein bei einer Vorauszahlung für n Monate der Gesamtbetrag  Gn aus Monatsbeitrag und Zinsen errechnen:

Gesamtbetrag, allgemeine Formel

Damit das Mitglied also keinen Verlust hat, darf die Summe der Monatsbeiträge nicht höher als die Summe der Rückzahlungen an die Bank sein. Der Mindest-Abschlag a (in %) läßt sich aus folgender Gleichung berechnen:

Bestimmungsgleichung für den Abschlag
       (*)  

Dabei fällt der Monatsbeitrag M heraus, der Abschlag ist also nur vom Kreditzins der Bank abhängig, nicht aber von der Höhe des Monatsbeitrags:

Formel für den Abschlag

Für andere Zeiträume kann diese Formel mit anderen Werten von n durchgerechnet werden:

n =  3:

Quartalsweise Vorauszahlung statt monatliche Mitgliedsbeiträge

n =  6:

Halbjährliche Vorauszahlung statt monatliche Mitgliedsbeiträge

n = 12:

Jährliche Vorauszahlung statt monatliche Mitgliedsbeiträge

Wenn der Jahresbeitrag in den ersten 2, 3 oder 4 Monaten gezahlt werden soll, dann gelten folgende Berechnungsformeln für G12:

  2 Monate:  

G12 = M · (q0 + ... + q10) + M · q5

  3 Monate:  

G12 = M · (q0 + ... + q9) + M · (q3 + q6)

  4 Monate:  

G12 = M · (q0 + ... + q8) + M · (q2 + q4 + q6)

Allgemein läßt sich die Formel für eine Vorauszahlung von n Monaten (n = 12 für Jahresbeitrag), die in m Monaten (m = 2...4) geleistet wird, schreiben als:

Zinsformel

Es ist dabei erforderlich, daß

ganzzahlig ist. Für den Abschlag a ergibt sich also folgende allgemeine Formel:

Abschlag

Diese Formel kann aus Gleichung (*) bestimmt werden, wenn man Gn statt G12 einsetzt, und a separiert.


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